Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm．動(dòng)線段DE（端點(diǎn)D從點(diǎn)B開始）沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)端點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．過點(diǎn)E作EF∥AC交AB于點(diǎn)F（當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，EF與CA重合），連接DF，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）直接寫出用含t的代數(shù)式表示線段BE、EF的長；
（2）在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△DEF能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)M、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，MN所掃過的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得EF的長；
（2）分三種情況討論：①當(dāng)DF=EF時(shí)，②當(dāng)DE=EF時(shí)，③當(dāng)DE=DF時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)，即可求得答案；
（3）首先設(shè)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，可證得點(diǎn)B，N，P共線，即可得點(diǎn)N沿直線BP運(yùn)動(dòng)，MN也隨之平移，設(shè)MN從ST位置運(yùn)動(dòng)到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形，然后求得?PQST的面積即為MN所掃過的面積．
解答：解：（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴EF：CA=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得：EF=（t+4）（cm）；

（2）分三種情況討論：
①如圖1，∵當(dāng)DF=EF時(shí)，
∴∠EDF=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠C，
∴∠EDF=∠B，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，
∴t=0；
②如圖2，當(dāng)DE=EF時(shí)，
則4=（t+4），
解得：t=；
③如圖3，∵當(dāng)DE=DF時(shí)，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴，
即，
解得：t=；
綜上所述，當(dāng)t=0、或秒時(shí)，△DEF為等腰三角形．

（3）如圖4，設(shè)P是AC的中點(diǎn)，連接BP，
∵EF∥AC，
∴△FBE∽△ABC．
∴，
∴．
又∵∠BEN=∠C，
∴△NBE∽△PBC，
∴∠NBE=∠PBC．
∴點(diǎn)B，N，P共線，
∴點(diǎn)N沿直線BP運(yùn)動(dòng)，MN也隨之平移．
如圖5，設(shè)MN從ST位置運(yùn)動(dòng)到PQ位置，則四邊形PQST是平行四邊形．
∵M(jìn)、N分別是DF、EF的中點(diǎn)，
∴MN∥DE，且ST=MN=DE=2．
分別過點(diǎn)T、P作TK⊥BC，垂足為K，PL⊥BC，垂足為L，延長ST交PL于點(diǎn)R，則四邊形TKLR是矩形，
∵當(dāng)t=0時(shí)，EF=（0+4）=，TK=EFsin∠DEF=••=；
當(dāng)t=12時(shí)，EF=AC=10，PL=AC•sin∠C=•10•=3．
∴PR=PL-RL=PL-TK=3-=．
∴S_{平行四邊形PQST}=ST•PR=2×=．
∴整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，MN所掃過的面積為cm²．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握分類討論思想、方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．