Question

在半圓O中，AB為直徑，一直線交半圓周于C、D，交AB延長(zhǎng)線于M（MB＜MA，AC＜MD），設(shè)K是△AOC與△DOB的外接圓除點(diǎn)O外的另一個(gè)交點(diǎn)，求證：∠MKO=90°．

Answer 1

考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓

專題：證明題

分析：連接CK，BK，BC，由AB是⊙O直徑可得∠OAC+∠ABC=90°，根據(jù)圓周角定理可得∠OAC=∠OKC，要證∠MKO=90°，只需證到∠ABC=∠MKC，只需證到B、C、K、M四點(diǎn)共圓，只需證到∠BMC=∠BKC即可．

解答：證明：連接CK，BK，BC，如圖所示．
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠OAC+∠ABC=90°．
∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠BDC=∠BAC．
∵A、O、C、K四點(diǎn)共圓，
∴∠CKO=∠OAC．
∵D、O、B、K四點(diǎn)共圓，
∴∠BKO=∠BDO．
∴∠BKC=∠BKO-∠CKO=∠BDO-∠OAC．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠BDO．
∴∠BMC=∠ABD-∠BDC=∠BDO-∠BAC=∠BKC．
∴B、C、K、M四點(diǎn)共圓．
∴∠ABC=∠MKC．
∴∠MKO=∠MKC+∠CKO=∠ABC+∠OAC=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四點(diǎn)共圓的判定、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，而證到B、C、K、M四點(diǎn)共圓是解決本題的關(guān)鍵．