Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，BF平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，AB=6，過B、F兩點(diǎn)的⊙O交BA于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)E，EB恰為⊙O的直徑．
（1）判斷CD和⊙O的位置關(guān)系并說明理由；
（2）若cos∠A=

1

3

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OF，求出OF∥BD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出CD⊥AB，推出OF⊥CD，即可得出答案；
（2）解直角三角形求出BC，設(shè)半徑為r，證△△CFO∽△CDB，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）CD與⊙O相切，                          
理由如下：連接OF，
∵AC=BC，CD平分∠ACB，
∴AD=BD=3，CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠OBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠FBD，
∴∠OFB=∠FBD，
∴OF∥DB，
∴∠CFO=∠BDC=90°，
∴CD與⊙O相切；

（2）∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠A=

1

3

在Rt△BDC中，cos∠ABC=

3

BC

=

1

3

，
∴BC=9，
∵OF∥DB，
∴△CFO∽△CDB，
設(shè)⊙O的半徑是r，則

9-r

9

=

r

3

，
∴r=

9

4

，
即⊙O的半徑是

9

4

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，難度適中．