Question

如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點E、F分別在邊AB、BC上，EF與BD交于G，且∠DEF=60°．
（1）求證：△ADE∽△BEG；
（2）已知AD=3，AE=2，求sin∠BEF的值（結果保留根號）．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,菱形的性質

專題：

分析：（1）由菱形ABCD，∠A=60°，得出∠ABC=120°，再由BD平分∠ABC，得出∠EBG=60°=∠A，由∠DEB=∠A+∠ADE，得出∠ADE=∠BEG，證出△ADE∽△BEG；
（2）作EH⊥AD于H，由△ADE∽△BEG，得出∠BEF=∠ADE，求出sin∠ADE即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ABC=120°，BD平分∠ABC，
∴∠EBG=60°，
∵∠DEB=∠A+∠ADE，∠DEF=60°，
∴∠ADE=∠BEG，
∴△ADE∽△BEG；
（2）解：作EH⊥AD于H，如圖所示：
則∠AEH=90°-60°=30°，
∴AH=

1

2

AE=1，
∴EH=

3

，
∵AD=AB=2+1=3，
∴DH=2，
在Rt△DEH中，根據(jù)勾股定理得，DE=

22+( 3 )2

=

7

，
由（1）得，∠BEF=∠ADE，
∴sin∠BEF=sin∠ADE=

3

7

=

21

7

．

點評：本題考查了菱形的性質和相似三角形的判定與性質以及銳角三角函數(shù)的運用，證明三角形相似是解決問題的關鍵．