Question

(2005　北京東城)已知拋物線．

(1)求證此拋物線與x軸有兩個不同的交點；

(2)若m是整數(shù)，拋物線與x軸交于整數(shù)點，求m的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線頂點為A，拋物線與x軸的兩個交點中右側(cè)交點為B．若M為坐標(biāo)軸上一點，且MA=MB，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)證明：令y=0，則． 因為， 所以此拋物線與x軸有兩個不同的交點． (2)解法一  因為關(guān)于x的方程的根為， 由m為整數(shù)，當(dāng)為完全平方數(shù)時，此拋物線與x軸才有可能交于整數(shù)點． 設(shè)(其中n為整數(shù))， 所以[n＋(m－2)][n－(m－2)]=4． 因為n＋(m－2)與n－(m－2)的奇偶性相同， 所以或． 解得m=2． 經(jīng)檢驗，當(dāng)m=2時，關(guān)于x的方程有整數(shù)根． 所以m=2． 解法二 設(shè)a是原方程的根，則a為整數(shù)，代入方程，得 a2-ma+m-2=0，解出 m、a都為整數(shù)，所以也必須為整數(shù)，只能a=0或2，此時可以計算得m=2， 故m=2. (3)當(dāng)m=2時，此二次函數(shù)解析式為，則頂點A的坐標(biāo)為(1，－1)．拋物線與x軸的交點為O(0，0)、B(2，0)． 如圖所示，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于，則．在直角三角形中，由勾股定理，得，由拋物線的對稱性可得，． 又， 即． 所以△ABO為等腰直角三角形． 則． 所以為所求的點． 若滿足條件的點在y軸上時，設(shè)坐標(biāo)為(0，y)．過A作AN⊥y軸于N，連接．則． 由勾股定理，有； ． 即．解得y=1． 所以為所求的點． 綜上所述滿足條件的M點的坐標(biāo)為(1，0)或(0，1)．

提示：

點評　本題的第(1)問考查判別式的應(yīng)用．第(2)(3)問運用了分類的方法，其中隱含著探索性的數(shù)學(xué)思想，題目看似簡單，實則綜合性很強(qiáng)．