Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，△APQ沿PQ翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線上D點(diǎn)處，請(qǐng)判定此時(shí)四邊形APDQ的形狀，并求出D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)y=x²+bx+c中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式及C坐標(biāo)．

（2）等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設(shè)邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標(biāo)．

（3）注意到P，Q運(yùn)動(dòng)速度相同，則△APQ運(yùn)動(dòng)時(shí)都為等腰三角形，又由A、D對(duì)稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對(duì)邊平行且相等等性質(zhì)可用t表示D點(diǎn)坐標(biāo)，又D在E函數(shù)上，所以代入即可求t，進(jìn)而D可表示．

【解答】方法（1）：

解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得，

∴y=x²﹣x﹣4．

∴C（0，﹣4）．

 

（2）存在．

如圖1，過點(diǎn)Q作QD⊥OA于D，此時(shí)QD∥OC，

∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5，

∵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，AB=4，

∴AQ=4．

∵QD∥OC，

∴，

∴，

∴QD=，AD=．

①作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時(shí)AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，

設(shè)AE=x，則EQ=x，DE=AD﹣AE=|﹣x|，

∴在Rt△EDQ中，（﹣x）²+（）²=x²，解得 x=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0），

說明點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上；

②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時(shí)QE=QA=4，

∵ED=AD=，

∴AE=，

∴OA﹣AE=3﹣=﹣，

∴E（﹣，0）．

③當(dāng)AE=AQ=4時(shí)，

1．當(dāng)E在A點(diǎn)左邊時(shí)，

∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，

∴E（﹣1，0）．

2．當(dāng)E在A點(diǎn)右邊時(shí)，

∵OA+AE=3+4=7，

∴E（7，0）．

綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)E，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

 

（3）四邊形APDQ為菱形，D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣）．理由如下：

如圖2，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)Q作，F(xiàn)Q⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，

∴AP=AQ=QD=DP，

∴四邊形AQDP為菱形，

∵FQ∥OC，

∴，

∴，

∴AF=，F(xiàn)Q=，

∴Q（3﹣，﹣），

∵DQ=AP=t，

∴D（3﹣﹣t，﹣），

∵D在二次函數(shù)y=x²﹣x﹣4上，

∴﹣=（3﹣t）²﹣（3﹣t）﹣4，

∴t=，或t=0（與A重合，舍去），

∴D（﹣，﹣）．

 

方法二：

（1）略．

（2）∵點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都已每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿AB，AC運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)Q作x軸垂線，垂足為H．

∵A（3，0），C（0，4），

∴l(xiāng)_AC：y=x﹣4，

∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，

∴AP=AQ=4，

∴QH=，Q_y=﹣，

代入L_AC：y=x﹣4得，Q_x=，則Q（，﹣），

∵點(diǎn)E在x軸上，

∴設(shè)E（a，0），

∵A（3，0），Q（，﹣），△AEQ為等腰三角形，

∴AE=EQ，AE=AQ，EQ=AQ，

∴（a﹣3）2=（a﹣）2+（0+）2，∴a=﹣，

（a﹣3）2=（3﹣）2+（0+）2，∴a1=7，a2=﹣1，

（a﹣）2+（0+）2=（3﹣）2+（0+）2，∴a1=﹣，a2=3（舍）

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．

 

（3）∵P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒，

∴設(shè)P（3﹣t，0），Q（3﹣t，﹣ t），

∴K_PQ=，K_PQ=﹣2，

∵AD⊥PQ，

∴K_PQ•K_AD=﹣1，

∴K_AD=，

∵A（3，0），

∴l(xiāng)_AD：y=x﹣，

∵y=，

∴x1=3（舍），x2=﹣，

∴D（﹣，﹣），

∵D_Y=Q_Y，即﹣t=﹣，t=，DQ∥AP，DQ=AQ=AP，此時(shí)四邊形APDQ的形狀為菱形．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知識(shí)，總體來說題意復(fù)雜但解答內(nèi)容都很基礎(chǔ)，是一道值得練習(xí)的題目．