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3.已知:拋物線l1:y=-x2+bx+3交x軸于點A,B(點A在點B的左側(cè)),交y軸于點C,其對稱軸為x=1,拋物線l2經(jīng)過點A,與x軸的另一個交點為E(5,0),交y軸于點D(0,-52).
(1)求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式;
(2)P為直線x=1上一動點,連接PA,PC,當(dāng)PA=PC時,求點P的坐標(biāo).

分析 (1)利用對稱軸公式求得b的值,即得到拋物線l1的解析式,然后根據(jù)解析式求得點A的坐標(biāo),所以利用點A、點E、點D的坐標(biāo)來求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)P(1,y),由(1)可得C(0,3).利用兩點間的距離公式進(jìn)行解答即可.

解答 解:(1)∵拋物線l1:y=-x2+bx+3的對稱軸為x=1,
∴-2=-1,
解得b=2,
∴拋物線l1的解析式為:y=-x2+2x+3,或者y=-(x-1)(x+3),
∴點A的坐標(biāo)是(-1,0).
又∵拋物線l2經(jīng)過點A,與x軸的另一個交點為E(5,0),
∴可設(shè)拋物線l2的解析式為:y=a(x+1)(x-5),
又∵拋物線l2經(jīng)過點D(0,-52),
∴-5a=-52,
解得a=12
則拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式為:y=12(x+1)(x-5)或y=12x2-2x-52

(2)設(shè)P(1,y),由(1)可得C(0,3).
∴PC2=12+(y-3)2=y2-6y+10,PA2=[1-(-1)]2+y2=4+y2
∵PA=PC,
∴y2-6y+10=4+y2,
解得y=1.
∴點P的坐標(biāo)是P(1,1).

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點坐標(biāo).二次函數(shù)的交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,b,c是常數(shù),a≠0),可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(biāo)(x1,0),(x2,0).

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