Question

13．如圖所示，菱形ABCD中，AB=4，E為BC中點，AE⊥BC，AF⊥CD，CG∥AE，CG交AF于點H，交AD于點G．
（1）求證：四邊形AECG是矩形．
（2）求∠CHA的度數(shù)．
（3）求菱形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB=BC=4，由已知條件證出四邊形AECG是平行四邊形，再證出∠AEC=90°，即可得出結(jié)論；
（2）連接AC，證明△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)求出∠CAE，再求出∠CAF，得到∠EAF，然后求出AE∥CG，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補解答．
（3）由三角函數(shù)求出AE，即可求出菱形的面積．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=BC=4，
∵CG∥AE，
∴四邊形AECG是平行四邊形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
∴四邊形AECG是矩形．
（2）解：連接AC，如圖所示：
∵E為BC中點，AE⊥BC，
∴AB=AC，
∵AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴∠B=∠BAC=60°，
在等邊三角形ABC中，∵AE⊥BC，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
同理∠CAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°，
∵AE⊥BC，CG⊥AD，AD∥BC，
∴AE∥CG，
∴∠AHC=180°-∠EAF=180°-60°=120°．
（3）解：∵∠B=60°，∠AEB=90°，
∴AE=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面積=BC•AE=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖，作出輔助線構造成等邊三角形是解題的關鍵．