Question

17．已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一點，BE的延長線交AC于F，若BD=AD，DE=DC．
①求證：△BED≌△ACD．
②求證：BF⊥AC．

Answer 1

分析 ①求出∠BDE=∠ADC=90°，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CAD=∠DBE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DBE+∠BED=90°，求出∠AEF+∠CAD=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AFE=90°，即可得出答案．

解答 證明：①∵AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在△BED和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{DB=DA}\\{∠BDE=∠ADC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$
∴△BED≌△ACD（SAS）；

②∵△BED≌△ACD，
∴∠CAD=∠DBE，
∵∠BDE=90°，
∴∠DBE+∠BED=90°，
∵∠BED=∠AEF，∠DBE=∠CAD，
∴∠AEF+∠CAD=90°，
∴∠AFE=180°-90°=90°，
∴BF⊥AC．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能推出△BED≌△ACD是解此題的關(guān)鍵．