Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（2，0），B（6，0），C（0，6），其對稱軸交x軸于M點，
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點P是拋物線上一點，且滿足 S_△ACP=S_△ABP，求P點坐標；
（3）拋物線對稱軸是否存在點Q，使△BCQ與△AOC相似？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）將三點代入拋物線，利用待定系數(shù)法可確定拋物線解析式；
（2）分兩種情況討論，①點P在第四象限，②點P在第一象限，再由S_△ACP=S_△ABP，y與x的函數(shù)關系式，結合拋物線解析式可得x、y的值，也可利用作平行線的方法求解；
（3）在本題的求解過程中，可先將△BCQ與△AOC相似，利用對應邊成比例求Q的坐標．

解答：解：（1）將A（2，0），B（6，0），C（0，6），代入拋物線y=ax²+bx+c得：

4a+2b+c=0 36a+6b+c=0 c=6

，
解得：

a= 1 2 b=-4 c=6

∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x2-4x+6；

（2）方法一：
如圖1，P在第四象限時，過P點作PD⊥y軸于D，設P（x，y），
由S_△CDP-S_△COA-S_梯形AODP=S_△ABP得，

1

2

x(6-y)-

1

2

(-y)(2+x)-6=-2y，
∴y=-x+2，
∴-x+2=

1

2

x²-4x+6，
解得：x=4或x=2（舍去），
∴P（4，-2）
同理，當P在第一象限時，P（12，30）
∴P₁（4，-2），P₂（12，30）；

方法二：P在第四象限時，過A點作AP∥BC交拋物線于P點，
易得P（4，-2）
P在第一象限時，取BC中點E，作直線AE交拋物線于P，
易得P（12，30），
∴P₁（4，-2），P₂（12，30）；

（3）如圖2，過B點作BQ⊥BC，交拋物線對稱軸于Q點，
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠CBO=45°=∠QBO，
∴BM=MQ=2，
計算可得BC=6

2

，BQ=2

2

，
在△AOC與△QBC中，
∵

OC

BC

=

1

2

=

OA

BQ

，
∠AOC=90°=∠QBC，
∴△AOC∽△QBC，
由

1

2

x2-4x+6=-2，
解得x₁=x₂=4，
∴Q（（4，-2），
同理，過C作CQ₁⊥BC交MQ于Q₁，可驗證△AOC與△QBC的邊不對應成比例，
故Q₁不滿足條件；
以BC為直徑作圓交MQ于Q₂，Q₃，經(jīng)驗證均不滿足條件，
∴存在唯一滿足條件的Q點，Q（（4，-2）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形的面積、相似三角形的相似與性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，解答此類題目關鍵是數(shù)形結合、分類討論思想的運用．