【題目】如圖,△ABC是⊙O內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,C是弧AF的中點,弦BC,AF相交于點E,在BC延長線上取點D,使得AD=AE.
(1)求證:AD是⊙O切線;
(2)若∠OEB=45°,求sin∠ABD的值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)本題考查切線的證明,總體思路是“證垂直以及半徑”,根據(jù)題干AB為直徑,此處考查圓周角定理的運用;根據(jù)C是弧的中點,此處考查同弧所對的圓周角相等,綜合以上通過直角互余以及角的互換解答本題.
(2)本題考查圓周角定理以及正弦三角函數(shù)綜合運用,需要通過弧等推角等,邊等推角等,結(jié)合圖形特點選取合適的三角形進行角的互換,進一步推出邊的關(guān)系解答此題.
(1)∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°.
∴∠CBA+∠CAB=90°.
又∵AD=AE,
∴∠CAD=∠CAE.
∵C是 的中點,
∴
∴∠CAE=∠CBA.
∴∠CAD+∠CAB=90°.
∴OA⊥DA.
又∵OA是⊙O的半徑,
∴DA是⊙O的切線.
(2)∵C是 的中點,
∴
∴∠CBF=∠CBA.
設(shè)∠CBF=∠CBA=x,∠FAB=y.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠AFB=90°.
∴y+2x=90°,y=90°-2x.
∵∠FEB=y+x,
∴∠AEO=180°-∠OEB-∠FEB
=180°-45°-y-x
=135°-x-y
=135°-x-(90°-2x)
=45°+x,
又∵∠AOE=∠OBE+∠OEB=45°+x,
∴∠AEO=∠AOE.
∴AE=AO.
∵∠ACB=∠ACB,∠CAE=∠CBA,
∴△CEA∽△CAB.
∴ .
∴,
∴ .
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【題目】如圖,菱形ABCD的邊AB=20,面積為320,∠BAD<90°,⊙O與邊AB,AD都相切,AO=10,則⊙O的半徑長等于( )
A.5 B.6 C.2 D.3
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【題目】如圖,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=的圖象的兩個交點.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,在同一平面內(nèi),將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置,連接BB1,若BB1∥AC1,則∠CAC1的度數(shù)是( )
A.10°B.20°C.30°D.40°
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【題目】我國古代重要建筑的室內(nèi)上方,通常會在正中部位做出向上凸起的穹窿狀裝飾,稱為藻井.北京故宮博物院內(nèi)的太和殿上方即有藻井(圖1),全稱為龍鳳角蟬云龍隨瓣枋套方八角渾金蟠龍藻井.它展示出精美的裝飾空間和造型藝術(shù).從分層構(gòu)造上來看,太和殿藻井由三層組成:最下層為方井,中層為八角井,上層為圓井.圖2是由圖1抽象出的平面圖形.若最下層方井邊長為1,在圖2中隨機取一點,則此點取自圓內(nèi)的概率為( )
圖1 圖2
A.B.C.D.
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【題目】如圖,△ABC的頂點坐標分別為A(0,1),B(3,3) ,C(1,3) .
(1)畫出△ABC關(guān)于點O的中心對稱圖形△A1B1C1;
(2)畫出△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90的△AB2C2;直接寫出點C2的坐標為 ;
(3)求在△ABC旋轉(zhuǎn)到△AB2C2的過程中,點C所經(jīng)過的路徑長.
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【題目】 小明和同學(xué)們對居住在“幸福小區(qū)”的部分居民每周戶外鍛煉天數(shù)情況進行了調(diào)查,并將調(diào)查的居民每周戶外鍛煉的天數(shù)按四個類別進行了統(tǒng)計.四個類別分別是A(每周鍛煉少于5天),B(每周鍛煉5天),C(每周鍛煉6天),D(每周鍛煉7天),小明和同學(xué)們將統(tǒng)計結(jié)果繪制成了如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)調(diào)查的總?cè)藬?shù)為 人;
(2)扇形統(tǒng)計圖中C部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為 °;
(3)求類別B的人數(shù),并補全條形統(tǒng)計圖;
(4)如果“幸福小區(qū)”共有1200名居民,請你估計該小區(qū)每周鍛煉7天的人數(shù)有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形 ABCD 中,放入六個形狀大小相同的長方形,所標尺寸如圖所示, 則圖中陰影部分面積為( )
A. 44cm2B. 36cm2C. 96 cm2D. 84cm2
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