Question

已知拋物線的頂點(diǎn)是C (0，a) (a>0，a為常數(shù))，并經(jīng)過點(diǎn)(2a，2a)，點(diǎn)D（0，2a）為一定點(diǎn).

(1)求含有常數(shù)a的拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)P是拋物線任意一點(diǎn)，過P作PH⊥x軸，垂足是H，求證：PD = PH；

(3)設(shè)過原點(diǎn)O的直線l與拋物線在第一象限相交于A、B兩點(diǎn)，若DA=2DB，且S_△ABD = 4，求a的值.

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=kx²+a                

            ∵點(diǎn)D（2a，2a）在拋物線上，

            4a²k+a = 2a     ∴k =                      

            ∴拋物線的解析式為y= x²+a                

       （2）設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（x，y），過P作PH⊥x軸，PG⊥y軸，在Rt△GDP中，

            由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=(y–2a)²+x² =y² – 4ay+4a²+x²    

                                                          

           ∵y= x²+a  ∴x² = 4a ´ (y– a)= 4ay– 4a²     (6分)

           ∴PD ²= y²– 4ay+4a² +4ay– 4a²= y² =PH²

           ∴PD = PH 

       （3）過B點(diǎn)BE ⊥ x軸，AF⊥x軸.

            由（2）的結(jié)論：BE=DB  AF=DA

            ∵DA=2DB  ∴AF=2BE  ∴AO = 2BO

            ∴B是OA的中點(diǎn)，

            ∴C是OD的中點(diǎn)，

          連結(jié)BC

          ∴BC=  =  = BE = DB              

          過B作BR⊥y軸，

          ∵BR⊥CD   ∴CR=DR，OR= a +  =  ，

          ∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，又點(diǎn)B在拋物線上，

          ∴ = x²+a   ∴x² =2a²

          ∵x>0      ∴x = a

          ∴B (a， )                         

           AO = 2OB， ∴S_△ABD=S_△OBD = 4

         所以，´2a´a= 4

         ∴a²= 4   ∵a>0  ∴a = 2