Question

15．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，過(guò)平行四邊形的對(duì)稱中心點(diǎn)O的一條直線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F，設(shè)直線EF與BC的夾角為α（如圖）
（1）當(dāng)α的度數(shù)是60°時(shí)，四邊形AFCE為菱形？
（2）當(dāng)α的度數(shù)是30°時(shí)，四邊形AFCE為矩形？
（3）四邊形AFCE能否為正方形？為什么？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)α的度數(shù)是60°時(shí)，四邊形AFCE為菱形，首先證明四邊形AFCE、四邊形AFEB是平行四邊形，再證明△ABE是等邊三角形即可解決問(wèn)題．
（2）當(dāng)α的度數(shù)是30°時(shí)，四邊形AFCE為矩形，取BC中點(diǎn)M，連接AM，首先證明△ABE是等邊三角形，推出∠OCE=30°即可解決問(wèn)題．
（3）不可能，只要證明AE≠AF即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）當(dāng)α的度數(shù)是60°時(shí)，四邊形AFCE為菱形，
理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF=CE，AF∥BC，
∴AF∥BE，
∵∠α=∠ABC=60°，
∴AB∥EF，
∴四邊形AFEB是平行四邊形，
∴AF=BE=CE，
∵BC=8，AB=4，
∴AB=BE=4，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE=BE=CE，
∵四邊形AFCE是平行四邊形，
∴四邊形AFCE是菱形，
故答案為：60°；
（2）當(dāng)α的度數(shù)是30°時(shí)，四邊形AFCE為矩形，
理由如下：同（1）得：四邊形AFCE是平行四邊形，
取BC中點(diǎn)M，連接AM，∵AB=BM=4，∠B=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠AMB=60°，AM=BM=AB=CM，
∴∠ACM=∠MAC=30°，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
∵OE=OF，OA=OC，
∴AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．
故答案為30°．
（3）四邊形AECF不可能是正方形．
理由如下：如圖四邊形AFCE是矩形，
∵AB=4，BC=8，∠B=60°，
∴在RT△ABF中，AF=AB•sin∠B=2$\sqrt{3}$，BF=AB•cos60°=2，
∴CF=BC-BF=8-2=6，
∵AF≠FC，
∴四邊形AFCE不是正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的判定、平行四邊形的判定、矩形的判定、正方形的判定、等邊三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．