Question

如圖，∠BAC=∠ABD，AC=BD，點(diǎn)O是AD、BC的交點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
（1）試判斷OE和AB的位置關(guān)系，并給出證明．
（2）在OE所在直線上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM是直角三角形？若存在，請畫出直角△ABM（保留畫圖痕跡），并簡要說明你的畫法正確；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）OE⊥AB；
證明：在△BAC和△ABD中，
∴△BAC≌△ABD．
∴∠OBA=∠OAB
∴OA=OB
又∵AE=BE
∴OE⊥AB；

（2）在OE所在直線上，存在滿足條件的兩個(gè)點(diǎn)M，使△ABM是直角三角形．
在直線OE上分別截取EM₁=AE=EM₂，則M₁、M₂即為所求．
分析：（1）由已知可證△BAC≌△ABD，從而可得∠OBA=∠OAB，即△OAB為等腰三角形，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形底邊上的“三線合一”可證OE⊥AB；
（2）存在．只要△ABM是等腰直角三角形即可，故在直線OE上分別截取EM₁=AE=EM₂，則M₁、M₂即為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．