Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線l：x=1，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)E，F(xiàn)，M都在直線l上，且點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)．若點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，-1），直線EA與直線OF交于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，如圖，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)F為直線l上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，記點(diǎn)P（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到E（1，-3），再利用待定系數(shù)法求出直線EA的解析式為y=3x-6．直線OF的解析式為y=x，利用兩直線相交的問(wèn)題，通過(guò)解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=3x-6}\end{array}\right.$可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）由已知可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，t），與（1）一樣，利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到E（1，-2-2t），再利用待定系數(shù)法求出直線EA的解析式為y=（2+t）x-4-2t，直線OF的解析式為y=tx，利用兩直線相交的問(wèn)題得到tx=（2+t）x-2（2+t），即t=x-2，于是得到y(tǒng)=tx=（x-2）x=x²-2x．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M（1，-1）對(duì)稱(chēng)，
而F（1，1），
∴E（1，-3），
設(shè)直線EA的解析式為：y=kx+b（k≠0）、
把E（1，-3），A（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直線EA的解析式為：y=3x-6．
∵點(diǎn)O（0，0），F(xiàn)（1，1），
∴直線OF的解析式為y=x，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=3x-6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，3）；
（2）由已知可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，t）．
∴直線OF的解析式為y=tx，
由點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M（1，-1）對(duì)稱(chēng)，得點(diǎn)E（1，-2-t）．
設(shè)直線EA的解析式為y=cx+d（c、d是常數(shù)，且c≠0），
把E（1，-2-t），A（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{c+d=-2-t}\\{2c+d=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=2+t}\\{d=-4-2t}\end{array}\right.$，
∴直線EA的解析式為：y=（2+t）x-4-2t，
∵點(diǎn)P為直線OF與直線EA的交點(diǎn)，
∴tx=（2+t）x-2（2+t），即t=x-2．
∴y=tx=（x-2）x=x²-2x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩直線相交或平行問(wèn)題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．