Question

如圖，已知平行四邊形ABCD，E是對(duì)角線(xiàn)AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，
（1）若四邊形ABCD是菱形，求證：BE=DE；
（2）寫(xiě)出（1）的逆命題，并判斷其是真命題還是假命題，若是真命題，試給出證明；若是假命題，試舉出反例．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分”的性質(zhì)推知OE是△BDE的邊BD上的中垂線(xiàn)，結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知△DEB為等腰三角形；
（2）（1）的逆命題是“若BE=DE，則四邊形ABCD是菱形”．根據(jù)平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)相互平分知OD=OB，結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)推知OE是BD的中垂線(xiàn)，即平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂直．

解答：（1）證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O．
∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，且BO=OD．
又∵E是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，
∴EO是△BDE的邊BD的中垂線(xiàn)，∠DEB的角平分線(xiàn)，
∴△DEB是等腰三角形，
∴BE=DE；

（2）解：（1）的逆命題是“若BE=DE，則四邊形ABCD是菱形”，
它是真命題，理由如下：
∵平行四邊形ABCD，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，
∴BO=OD．
又∵BE=DE
∴EO⊥BD，即AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及命題與定理．解答該題時(shí)，充分利用的等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)．