Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點E，EF⊥AB于點F，點F恰好是AB的一個三等分點（AF＞BF）．
（1）求證：△ACE≌△AFE；
（2）求tan∠CAE的值．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質,勾股定理,銳角三角函數的定義

專題：證明題

分析：（1）根據角的平分線的性質可求得CE=EF，然后根據直角三角形的判定定理求得三角形全等．
（2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據勾股定理可求得，tan∠B=

AC

BC

=

2

5

，CE=EF=

2m

5

，在RT△ACE中，tan∠CAE=

CE

AC

=

2m 5

2m

=

5

5

；

解答：（1）證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE=EF，
在Rt△ACE與Rt△AFE中，

CE=EF AE=AE

，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；

（2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE，
∴AC=AF，CE=EF，
設BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，
∴BC=

AB2-AC2

=

9m2-4m2

=

5

m，
解法一：∵∠C=∠EFB=90°，
∴△EFB∽△ACB，
∴

EF

AC

=

FB

BC

，
∵CE=EF，
∴

CE

AC

=

m

5 m

=

5

5

；
解法二：∴在RT△ABC中，tan∠B=

AC

BC

=

2m

5 m

=

2

5

，
在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B=

2m

5

，
∴CE=EF=

2 m

5

，
在RT△ACE中，tan∠CAE=

CE

AC

=

2m 5

2m

=

5

5

；
∴tan∠CAE=

5

5

．

點評：本題考查了直角三角形的判定、性質和利用三角函數解直角三角形，根據已知條件表示出線段的值是解本題的關鍵．