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如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分線交BC于點E,EF⊥AB于點F,點F恰好是AB的一個三等分點(AF>BF).
(1)求證:△ACE≌△AFE;
(2)求tan∠CAE的值.
考點:全等三角形的判定與性質,角平分線的性質,勾股定理,銳角三角函數的定義
專題:證明題
分析:(1)根據角的平分線的性質可求得CE=EF,然后根據直角三角形的判定定理求得三角形全等.
(2)由△ACE≌△AFE,得出AC=AF,CE=EF,設BF=m,則AC=2m,AF=2m,AB=3m,根據勾股定理可求得,tan∠B=
AC
BC
=
2
5
,CE=EF=
2m
5
,在RT△ACE中,tan∠CAE=
CE
AC
=
2m
5
2m
=
5
5
;
解答:(1)證明:∵AE是∠BAC的平分線,EC⊥AC,EF⊥AF,
∴CE=EF,
在Rt△ACE與Rt△AFE中,
CE=EF
AE=AE

∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL);

(2)解:由(1)可知△ACE≌△AFE,
∴AC=AF,CE=EF,
設BF=m,則AC=2m,AF=2m,AB=3m,
∴BC=
AB2-AC2
=
9m2-4m2
=
5
m,
解法一:∵∠C=∠EFB=90°,
∴△EFB∽△ACB,
EF
AC
=
FB
BC
,
∵CE=EF,
CE
AC
=
m
5
m
=
5
5
;
解法二:∴在RT△ABC中,tan∠B=
AC
BC
=
2m
5
m
=
2
5
,
在RT△EFB中,EF=BF•tan∠B=
2m
5
,
∴CE=EF=
2 m
5
,
在RT△ACE中,tan∠CAE=
CE
AC
=
2m
5
2m
=
5
5
;
∴tan∠CAE=
5
5
點評:本題考查了直角三角形的判定、性質和利用三角函數解直角三角形,根據已知條件表示出線段的值是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
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已知a+b=2,則
1
2
a2+ab+
1
2
b2
=
 

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