Question

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM＝EN，．

（1）如圖1，當點E與點C重合時，求CM的長；

（2）如圖2，當點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，設AP＝x，BN＝y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點A、M、E分別與△ENB的頂點E、N、B對應），求AP的長．

圖1                    圖2                    備用圖

Answer 1

  [解] (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，ÞCP=24，又sinÐEMP=ÞCM=26。

      (2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵ ÐEAP=ÐBAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，

         ∴ ，即，∴ EP=x，

         又sinÐEMP=ÞtgÐEMP==Þ=，∴ MP=x=PN，

         BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (0<x<32)。

      (3) j 當E在線段AC上時，由(2)知，，即，ÞEM=x=EN，

           又AM=AP-MP=x-x=x，

           由題設△AME ~ △ENB，∴ ，Þ=，解得x=22=AP。

         k 當E在線段BC上時，由題設△AME ~ △ENB，∴ ÐAEM=ÐEBN。

           由外角定理，ÐAEC=ÐEAB+ÐEBN=ÐEAB+ÐAEM=ÐEMP，

           ∴ Rt△ACE ~ Rt△EPM，Þ，即，ÞCE=…j。

           設AP=z，∴ PB=50-z，

           由Rt△BEP ~ Rt△BAC，Þ，即=，ÞBE=(50-z)，

           ∴CE=BC-BE=30-(50-z)…k。

           由j，k，解=30-(50-z)，得z=42=AP。