Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4）點(diǎn)P的對(duì)角線OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2），當(dāng)DP與AP之和最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)C，連接CD，交OB于點(diǎn)P，再得出CD即為DP+AP最短，解答即可．

解答 解：連接CD，如圖，
∵點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)C，
∴CP=AP，
∴CD即為DP+AP最短，
∵四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)B（8，4），
∴OA²=AB²=（8-AB）²+4²，
∴AB=OA=BC=OC=5，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），
∴可得直線OB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2），
∴可得直線CD的解析式為：y=2x-2，
∵點(diǎn)P是直線OC和直線ED的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$的解，
解方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$），
故答案為：（$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)與方程組的關(guān)系，得出兩直線的解析式，求出其交點(diǎn)坐標(biāo)．