Question

四邊形中，∥，，，．點(diǎn)為射線上動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)在直線上，且．記，，，．

（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，寫(xiě)出并證明與的數(shù)量關(guān)系；

（2）隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，（1）中得到的關(guān)于與的數(shù)量關(guān)系，是否改變？若認(rèn)為不改變，請(qǐng)證明；若認(rèn)為會(huì)改變，請(qǐng)求出不同于（1）的數(shù)量關(guān)系，并指出相應(yīng)的的取值范圍；

（3）若cos=，試用的代數(shù)式表示．

 

Answer 1

【答案】

見(jiàn)解析

【解析】證明：（1）∠1=∠2                                                   1分

∵∠=∠+∠1，又∠=∠+∠2，

          ∴∠+∠1=∠+∠2，

          ∵∠==∠，

∴∠1=∠2                                                 2分

 

解：（2）會(huì)改變，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，即時(shí)，                 1分

∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系不同于（1）的數(shù)量關(guān)系。

∵∠==∠，

∴ =－∠2，                                        1分

∵∠+∠+=180°，

∴+∠1+－∠2=180°，                                   1分

∴∠1－∠2=180°－2．                                     1分

 

解：（3）情況1：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

∵∠1=∠2，∠ =∠，

∴△∽△，                                1分

∴，                                       1分

即，

∴。                                    2分

情況2：當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，

可得△∽△，

∴                                     1分

作//，可得

作，由得

∴，

于是

即

亦即                                2分

（1）∠APC是△ABP的外角，根據(jù)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和易得∠1=∠2；

（2）當(dāng)BP＞5時(shí)，∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系顯然會(huì)改變．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得新的關(guān)系；

（3）分兩種情形分別求解．①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，根據(jù)△ABP∽△PCE得關(guān)系求解；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)△EPC∽△EGP得關(guān)系求解．