Question

如圖1，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，邊長(zhǎng)為2cm的菱形DEFG兩邊DG、DE分別在AC、AB上．若菱形DEFG以1cm/s的速度沿射線(xiàn)AC方向平移．
（1）經(jīng)過(guò)______秒菱形DEFG的頂點(diǎn)F恰好在BC上；
（2）求菱形DEFG的面積；
（3）設(shè)菱形DEFG與△ABC的重合部分為Scm²，菱形DEFG平移的時(shí)間為t秒．求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求菱形DEFG的頂點(diǎn)F恰好在BC上的時(shí)間，只要求出D點(diǎn)移動(dòng)的距離即可，可根據(jù)平行線(xiàn)及等腰三角形的知識(shí)求得△EFC是等腰三角形，利用線(xiàn)段差可求AD的大小；
（2）要求菱形的面積，知道菱形的邊長(zhǎng)，只要求出菱形的一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，利用勾股定理求得另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，可求面積；
（3）要求S與t的函數(shù)關(guān)系式，要分四種情況，對(duì)每種情況進(jìn)行逐個(gè)分析，可得結(jié)論．
解答：
解：（1）如圖2，
∵菱形DEFG，
∴EF∥DG∥AB，
∴∠B=∠EFC，
∵AB=AC=5cm，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠EFC，
∴EC=EF=2cm，
∴AD=AC-DE-EC
=5-2-2=1（cm），
∴要經(jīng)過(guò)1秒菱形DEFG的頂點(diǎn)F恰好在BC上，

（2）如圖3，連接GE、AF，交于點(diǎn)O，并延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)H．
∵AG=AE，
∴∠AGE=∠AEG，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠AEG=∠C=．
∴GE∥BC，
∴=，
∴GE=．
∵菱形DEFG中，GE⊥AF，
∴AH⊥BC，
∴CH=BC=3．
∴Rt△ACH中，AH==4．
∴=，
∴AO=，
∴AF=．
∴S_菱形DEFG=GE•AF=．

（3）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=
②如圖4，當(dāng)1＜t≤3時(shí)，
AD=t，則CE=5-t-2=3-t，EN=EC=3-t，
故FN=2-（3-t）=t-1．
由△FMN∽△ABC可得=（）²．
即=（）²，
∴S_△FMN=（t-1）²．
所以S=S_菱形AEFG-S_△FMN=-（t-1）²
③如圖5，當(dāng)3＜t≤5時(shí)，AD=t，則CD=5-t，
∵△DMC∽△ABC
∴=（）²．
即=（）²，
∴S=（5-t）²．
④當(dāng)t＞5時(shí)，S=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、菱形的性質(zhì)與平移的性質(zhì)；在求s與t的關(guān)系是分情況討論是正確解答的關(guān)鍵，做題時(shí)注意思考全面．