Question

5．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D、E在邊AB上，且∠DCE=45°
（1）以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ADC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形；
（2）若AD=2，BE=3，求DE的長(zhǎng)；
（3）若AD=1，AB=5，直接寫(xiě)出DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖；
（2）連結(jié)EF，如圖，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠A=∠ABC=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，則可根據(jù)“SAS”判斷△DCE≌△FCE，得到DE=FE，然后在△BEF中利用勾股定理計(jì)算EF，從而得到DE的長(zhǎng)；
（3）設(shè)ED=x，則BE=4-x，由（2）的證明得到EF=DE=x，BF=AD=1，然后在Rt△BEF中利用勾股定理得到1²+（4-x）²=x²，再解方程即可．

解答 解：（1）如圖，△BCF為所作；
（2）連結(jié)EF，如圖，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵△ADC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCF，
∴CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，
∵∠DCE=45°，
∴∠FCE=45°，
在△DCE和△FCE中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}\\{∠DCE=∠FCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△FCE，
∴DE=FE，
在△BEF中，∵∠EBC=45°，∠CBF=45°，
∴∠EBF=90°，
∴EF=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴DE=$\sqrt{13}$；
（3）∵AD=1，AB=5，
∵BD=4，
設(shè)ED=x，則BE=4-x，
由（2）得EF=DE=x，BF=AD=1，
在Rt△BEF中，1²+（4-x）²=x²，解得x=$\frac{17}{8}$，
即DE的長(zhǎng)為$\frac{17}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．本題的關(guān)鍵是把AD、DE、BE利用旋轉(zhuǎn)組成一個(gè)直角三角形．