Question

如圖，矩形ABCD，AB=8厘米，BC=12厘米，P、Q分別是AB、BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)．若P自點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，Q自點(diǎn)B出發(fā)以2厘米/秒的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積等于15厘米²；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？

Answer 1

分析：（1）由題意可得AP=t厘米，BP=AB-AP=8-t（厘米），BQ=2t厘米，即可得S_△PBQ=

1

2

PB•BQ=

1

2

（8-t）•2t=15，解此方程即可求得答案；
（2）由矩形ABCD，AB=8厘米，BC=12厘米，即可得∠PBQ=∠C=90°，CD=AB=8厘米，然后分別從當(dāng)

PB

CD

=

BQ

CB

時(shí)，△PBQ∽△DCB與當(dāng)

PB

CB

=

BQ

CD

時(shí)，△PBQ∽△BCD去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：AP=t厘米，BP=AB-AP=8-t（厘米），BQ=2t厘米，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴S_△PBQ=

1

2

PB•BQ=

1

2

（8-t）•2t=15，
解得：t=3或t=5，
∴當(dāng)t為3或5時(shí)，△PBQ的面積等于15厘米²；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，AB=8厘米，BC=12厘米，
∴∠PBQ=∠C=90°，CD=AB=8厘米，
∴①當(dāng)

PB

CD

=

BQ

CB

，即

8-t

8

=

2t

12

時(shí)，△PBQ∽△DCB，
解得：t=

24

7

，
②當(dāng)

PB

CB

=

BQ

CD

，即

8-t

12

=

2t

8

時(shí)，△PBQ∽△BCD，
解得：t=2，
∴當(dāng)t為

24

7

或2時(shí)，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想以及方程思想的應(yīng)用．