Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，P是反比例函數(shù)    （x＞0）圖象上一動點，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點A、B．

（1）求證：線段AB為⊙P的直徑；

（2）求證：是定值；

（3）在圖2中,直線與反比例函數(shù)（x＞0）圖象交于點Q，設(shè)直線與反比例函數(shù) （x＞0）圖象交于點E，以Q為圓心，QO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點C、D，判斷△CDE的形狀，并說明理由．

 

2

Answer 1

解：（1）證明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所對的圓周角，

∴AB是⊙P的直徑．                                   

（2）解：設(shè)點P坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＞0），     

∵點P是反比例函數(shù)y=（x＞0）圖象上一點，∴mn=12．…

如答圖，過點P作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，則OM=m，ON=n．

由垂徑定理可知，點M為OA中點，點N為OB中點，         

∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，

∴BO•OA=2n×2m=4mn=48．                     

（3）∵Q為直線與的圖象交點

     ∴（x＞0）

     解得，則點Q的坐標(biāo)為（）    

    ∵E為直線與的圖象交點

     ∴（x＞0）

     解得，則點E的坐標(biāo)為（） 

∴            

∴  EQ=OQ

∴點E在⊙Q上，                 

由（1）可證CD為⊙Q的直徑

∴∠CED=90°

∴∆CED是直角三角形。