Question

如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，連結(jié)DE交AF于點P，
（1）求ED的長；
（2）求證：△APD是等腰三角形．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC=60°，BE=2，可求得AB，AE的長，繼而求得DF與AD的長，然后由勾股定理求得ED的長；
（2）易求得∠ADE=∠DAF=30°，繼而證得：△APD是等腰三角形．

解答：（1）解：∵在?ABCD中，∠ADC=60°，
∴∠B=∠ADC=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴AB=2BE=2×2=4，
∴AE=

AB2-AE2

=2

3

，
∴CD=AB=4，
∵CF=1，
∴DF=CD-CF=3，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴AD=2DF=6，
∴ED=

AE2+AD2

=4

3

；

（2）∵∠EAD=90°，ED=4

3

，AE=2

3

，
∴ED=2AE，
∴∠ADE=30°，
∵∠DAF=30°，
∴∠ADE=∠DAF，
∴AP=DP，
即△APD是等腰三角形．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．