Question

已知△ABC的一邊為5，另外兩邊恰是方程x²-6x+m=0的兩個根．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）當(dāng)m取最大值時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂=6，x₁•x₂，=m；然后由三角形的三邊關(guān)系、一元二次方程的根的判別式列出關(guān)于m的不等式組，解不等式即可；
（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．在直角三角形ACD中，利用勾股定理求得AD的長度．然后利用三角形的面積公式：面積=

1

2

底×高，解答問題．

解答：解：（1）設(shè)另兩邊為x₁，x₂，且x₁＞x₂．
∴由韋達(dá)定理，得
x₁+x₂=6，x₁•x₂，=m；
根據(jù)三邊關(guān)系得：
x₁+x₂=6＞5 ①；
∴x₁-x₂=

(x1+x2)2-4x1x2

=

36-4m

＜5；
解得，m＞

11

2

；
又∵△=36-4m≥0，
解得，m≤9，
∴m的取值范圍是：

11

2

＜m≤9；

（2）當(dāng)m取最大值，即m=9時，由原方程得
x²-6x+9=0，即（x-3）²=0，
解得，x₁=x₂=3，
過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．
∴AD=

11

2

∴S_△ABC=

5 11

4

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了三角形的三邊關(guān)系、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)注．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．