Question

（2012•臺(tái)江區(qū)模擬）如圖，四邊形OABC為直角梯形，OA=4，BC=3，OC=4． 點(diǎn)M從O 出發(fā)向A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從B同時(shí)出發(fā)，向C運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)N作NP垂直x軸于點(diǎn)P，連接AC交NP于Q，連接MQ、OQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng)．
（2）是否存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
（3）設(shè)E、F分別是OQ、PQ的中點(diǎn)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EF所掃過(guò)的面積．

Answer 1

分析：（1）先判定△OAC是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠OAC=45°，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ACB=45°，再表示出CN，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NQ=CN，然后根據(jù)PQ=NP-CN代入整理即可得解；
（2）分①AQ=AM時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一可得AP=

1

2

AM，然后列式求解即可，②AM=QM時(shí)，點(diǎn)M、P重合，然后列出方程求解即可；
（3）分開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)求出AP、OP的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EF的長(zhǎng)，再求出PF的長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)停止時(shí)點(diǎn)N、Q與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)E′，然后求出此時(shí)點(diǎn)E′到EF的距離，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵OA=4，OC=4，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
∵OA∥BC，
∴∠ACB=∠OAC=45°，
∴△CNQ是等腰直角三角形，
∴NQ=CN=3-t，
∴PQ=NP-CN=4-（3-t）=t+1；

（2）①AQ=AM時(shí)，AM=4-t，
根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，AP=

1

2

AM=

1

2

（4-t），
∵∠OAC=45°，NP⊥OA于P，
∴AP=PQ，
∴

1

2

（4-t）=t+1，
解得t=

2

3

，
此時(shí)OM=

2

3

，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

2

3

，0），
②AM=QM時(shí)，點(diǎn)M、P重合，
∴AM=AP=PQ，
∴4-t=t+1，
解得t=

3

2

，
此時(shí)OM=

3

2

，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

3

2

，0），
綜上所述，存在點(diǎn)M（

2

3

，0）或（

3

2

，0），使得△AQM為直角三角形；

（3）如圖，開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP=BC=3，
AP=OA-BC=4-3=1，
∴PQ=AP=1，
∵E、F分別是OQ、PQ的中點(diǎn)，
∴PF=

1

2

PQ=

1

2

×1=

1

2

，
EF=

1

2

OP=

1

2

×3=

3

2

，
運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，點(diǎn)N、Q與點(diǎn)C重合，
此時(shí)點(diǎn)E、F重合，為OC的中點(diǎn)E′，
點(diǎn)E′到EF的距離為

1

2

OC-PF=

1

2

×4-

1

2

=2-

1

2

=

3

2

，
∴線段EF所掃過(guò)的面積=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，主要利用了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，（2）注意要分情況討論，（3）確定出EF所掃過(guò)的面積是三角形的面積是解題的關(guān)鍵．