【題目】如圖,已知正方形ABCD,將一塊等腰直角三角板的銳角頂點與A重合,并將三角板繞A點旋轉(zhuǎn),如圖1,使它的斜邊與BD交于點H,一條直角邊與CD交于點G.

(1)請適當(dāng)添加輔助線,通過三角形相似,求出的值;

(2)連接GH,判斷GH與AF的位置關(guān)系,并證明;

(3)如圖2,將三角板旋轉(zhuǎn)至點F恰好在DC的延長線上時,若AD=,AF=.求DG的長.

【答案】(1);(2)GHAF,理由見解析;(3)

【解析】試題分析:(1)連接AC,利用等量代換,求出∠BAH=∠GAC,再加上45的角,即可求出△BAH∽△CAG,進(jìn)而得出結(jié)論;(2)先回答位置關(guān)系GHAF,再證明,利用(1)問的結(jié)論,利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等得出△HAG∽△EAF,得出比例式即可;(3)判斷出△AGD∽△FGE,得出,設(shè)出未知數(shù),求出AG、EG的長度,利用相似即可求出DG的長度.

試題解析:

(1)連接AC

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BAC=∠ABH=∠ABH=45,

又∵△AEF是等腰直角三角形

∴∠EAH=45

∴∠BAH+EAC=∠FAC+∠EAC=45

∴∠BAH=∠GAC

∴△BAH∽△CAG.

(2)GHAF,理由如下:

∵在Rt△AEF中,

又∵∠HAG=∠EAF

∴△HAG∽△EAF.

∴∠AHG=∠E=90

GHAF..

(3)∵在Rt△AGH中,

AG=GH

又∵∠ADG=∠E=90,∠AGD=∠FGE

∴△AGD∽△FGE

.

又∵在Rt△AEF中,AF=

EF=5

∴可設(shè)GH,則

AF=AH+FH=

AG=GH

又∵

DG=

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B.4或5
C.5或6
D.6或7

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