Question

如圖1，拋物線y＝nx²－11nx＋24n (n＜0) 與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側），拋物線上另有一點A在第一象限內，且∠BAC＝90°．

（1）填空：點B的坐標為（_        ），點C的坐標為（_        ）；

（2）連接OA，若△OAC為等腰三角形．

①求此時拋物線的解析式；

②如圖2，將△OAC沿x軸翻折后得△ODC，點M為①中所求的拋物線上點A與點C兩點之間一動點，且點M的橫坐標為m，過動點M作垂直于x軸的直線l與CD交于點N，試探究：當m為何值時，四邊形AMCN的面積取得最大值，并求出這個最大值．

 

Answer 1

解：（1）B（3，０），C（8，０）                   

（2）①作AE⊥OC，垂足為點E

∵△OAC是等腰三角形，∴OE＝EC＝×8＝4，∴BE＝4－3＝1

又∵∠BAC＝90°，∴△ACE∽△BAE，∴＝

∴AE²＝BE·CE＝1×4，∴AE＝2                

∴點A的坐標為 (4，2)                       

把點A的坐標 (4，2)代入拋物線y＝nx²－11nx＋24n，得n＝－

∴拋物線的解析式為y＝－x²＋x－12           

②∵點M的橫坐標為m，且點M在①中的拋物線上

∴點M的坐標為 (m，－m²＋m－12)，由①知，點D的坐標為（4，－2），

則C、D兩點的坐標求直線CD的解析式為y＝x－4

∴點N的坐標為 (m，m－4)

∴MN＝（－m²＋m－12）－（m－4）＝－m²＋5m－8   

∴S_{四邊形AMCN}＝S_△AMN＋S_△CMN＝MN·CE＝（－m²＋5m－8）×4

          ＝－(m－5)²＋9                             

∴當m＝5時，S_{四邊形AMCN}＝9