Question

設a、b為實數，方程x²+ax+b=0的兩根為x₁，x₂，且x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂，則有序的二元數組（a，b）共有    個．

Answer 1

【答案】分析：方程x²+ax+b=0的兩根為x₁，x₂，根據根與系數的關系，可得x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，找出滿足式子x₁³+x₂³=x₁²+x₂²=x₁+x₂的ab值即可．
解答：解：由方程x²+ax+b=0的兩根為x₁，x₂，可得x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，
∵（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=x₁+x₂，
∴-a（a²-3b）=a²-2b=-a，
當a-0，則b=0，
當a≠0，則a²-3b=1，a²-2b+a=0，
于是a+b=-1，（1+b）²-3b-1=0，
∴b=0或者b=1，
∴共有3組解：（0，0），（-1，0），（-2，1）．
故答案為3．
點評：本題主要考查了根與系數的關系，難度適中，關鍵掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．