Question

如圖，正方形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，以BC為邊向正方形內(nèi)作等邊△BCE，連接并延長(zhǎng)AE交CD于F，連接BD分別交  CE、AF于G、H，
求證：①∠CEH=45°；
②GF∥DE；
③S_△BCE：S_△BCG=．

Answer 1

【答案】分析：①求出∠ABE=30°，根據(jù)AB=BE=BC求出∠AEB=75°，根據(jù)平角定義求出即可；
②求出∠DEF=∠EDG=30°，求出∠FDE=∠GED=75°，根據(jù)ASA證EGD≌△DEF，推出EF=GD，HG=HF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得出∠HGF=∠EDH，根據(jù)平行線的判定推出即可；
③過(guò)G作GM⊥BC于M，GN⊥DC于N，過(guò)E作ER⊥BC于R，
設(shè)GN=x，求出CG=2x，CN=x=GM，DN=GM=x，DG=x，DC=BC=x+x，BR=CR=（x+x），ER=（x+x），根據(jù)△BCE和△BCG同底不等高，它們的面積比即是兩個(gè)三角形的高之比，代入求出即可．
解答：證明：①∵△BEC是等邊三角形，
∴BE=BC，∠BEC=∠EBC=60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=BE，∠DAB=∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，∠AEB=∠BAE=-30°）=75°，
∴∠CEH=180°-75°-60°=45°；

②如圖1，∵∠BAD=∠ADC=90°，∠BAE=75°，
∴∠EAD=15°，
同理∠ADE=15°，
∴∠DEF=15°+15°=30°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CDB=45°，
∴∠EDG=90°-15°-45°=30°=∠DEF，
∵∠DEG=30°+45°=75°，∠EDF=30°+45°=75°，
∴∠GED=∠FDE，
在△EGD和△DEF中

∴△EGD≌△DEF，
∴EF=GD，
∵∠DEF=∠EDG=30°，
∴HE=HD，
∴EF-EH=DG-DH，
∴HG=HF，
∴∠HGF=∠HFG=（180°-∠GHF）=（180°-∠EHD）=∠EDH，
即∠HGF=∠EDH，
∴GF∥DE；
③如圖2，過(guò)G作GM⊥BC于M，GN⊥DC于N，過(guò)E作ER⊥BC于R，
設(shè)GN=x，
∠GCN=90°-60°=30°，∠GNC=90°，
∴CG=2x，
由勾股定理得：CN=x=GM，
∵正方形ABCD，∠CDB=45°=∠DGN，
∴DN=GM=x，由勾股定理得：DG=x，
則DC=BC=x+x，
∵△BEC是等邊三角形，
∴BE=EC，
∵ER⊥BC，
∴BR=CR=（x+x），
由勾股定理得：ER=（x+x），
由圖可知△BCE和△BCG同底不等高，它們的面積比即是兩個(gè)三角形的高之比，
∴S_△BCE：S_△BCG=（x+x）：x=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的面積，特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生需要有比較強(qiáng)的綜合知識(shí)．