Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²+2x-3經(jīng)過坐標(biāo)軸上A，B，C三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上．

（1）求證：OA=OC；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，直接寫出△DEF外接圓的最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，可得答案；
（2）①以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠2的度數(shù)，∠3的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，可得∠4的度數(shù)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得P₁H₁=H₁G，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得a的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；②當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)角的和差，可得∠P₂CH₂=45°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得a的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得OD與EF的關(guān)系，根據(jù)垂線段的性質(zhì)，可得OD的長(zhǎng)，根據(jù)圓的面積公式．

解答 （1）證明：由拋物線y=x²+2x-3
令y=0，則x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
所以A（-3，0），即OA=3；
令x=0，則y=-3，
所以C（0，-3），即OC=3；
所以O(shè)A=OC；              

（2）解：①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A作AP₁⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P₁，交y軸于點(diǎn)G，過P₁作P₁H₁⊥y軸于點(diǎn)H₁，如圖1所示，
由（1）OA=OC，∠AOC=90°
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°．
∵∠P₁AC=90°，
∴∠P₁AO=45°，∠3=45°，
∴∠4=∠3=45°，
∴∠H₁P₁G=45°
△AOG，△P₁H₁G為等腰直角三角形
即OA=OG=3，P₁H₁=H₁G，
設(shè)P₁（a，a²+2a-3）
則 a=a²+2a-3-3，
解得a₁=2，a₂=-3（舍）
此時(shí)a²+2a-3=5
所以P₁坐標(biāo)是（2，5）；
②當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP₂⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P₂，過P₂作P₂H₂⊥y軸于點(diǎn)H₂，如圖2所示，
∵∠1=45°，∠P₂CA=90°，
∴∠P₂CH₂=45°．
∵∠P₂H₂C=90°，
∴△P₂H₂C為等腰直角三角形．
即P₂H₂=H₂C
設(shè)P₂（a，a²+2a-3）
則-a=-a²-2a+3-3，
解得a₁=-1，a₂=0（舍去），
此時(shí)a²+2a-3=-4
所以P₂坐標(biāo)是（-1，-4）
綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)是（2，5）或（-1，-4）．

（3）△DEF的外接圓面積最小等于$\frac{9π}{8}$． 
如圖3所示，
因?yàn)椤鱀EF為直角三角形，則它外接圓的直徑為線段EF，要使圓的面積最小，則直徑EF必須取最小值，
又因?yàn)镋F與OD是矩形OEDF的對(duì)角線，所以EF=OD．
因?yàn)辄c(diǎn)到線的距離，垂線段最短，得
OD_最小值=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
故EF=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$時(shí)，△DEF的外接圓面積最小，得
π（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{9π}{8}$，
△DEF的外接圓面積最小等于$\frac{9π}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出A、C點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用等腰三角形的性質(zhì)得出關(guān)于a的方程式解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；利用矩形的性質(zhì)得出OD與EF的關(guān)系是解題關(guān)鍵，又利用了垂線段的性質(zhì)．