如圖1,在同一平面內(nèi),將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起,A為公共頂點,∠BAC=∠AGF=90°,它們的斜邊長為2,若△ABC固定不動,△AFG繞點A旋轉(zhuǎn),AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合,點E不與點C重合).設(shè)BE=m,CD=n.
(1)求證:△ABE∽△DCA;
(2)求m與n的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量n的取值范圍;
(3)以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸,BC邊上的高所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系(如圖2).在邊BC上找一點D,使BD=CE,求出D點的坐標(biāo),并通過計算驗證BD+CE=DE.
考點:相似形綜合題
專題:
分析:(1)∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°得∠BAE=∠CDA,可證明△ABE∽△DCA;
(2)由△ABE∽△DCA,得
BE
CA
=
BA
CD
,由題意可知CA=BA=
2
,則
m
2
=
2
n
,從而得出m=
2
n
.進(jìn)而得出自變量n的取值范圍為1<n<2;
(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n,再根據(jù)m=
2
n
,得m=n=
2
.可求得點D坐標(biāo)為(1-
2
,0)得出BD,DE,由BD+CE=2BD,得CE的長,從而得出BD+CE=DE.
解答:(1)證明:在△ABE和△DCA中,
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°.
∴∠BAE=∠CDA.
又∵∠B=∠C=45°
∴△ABE∽△DCA.
(2)解:∵△ABE∽△DCA,
BE
CA
=
BA
CD

由題意可知CA=BA=
2
,
m
2
=
2
n
,
∴m=
2
n

自變量n的取值范圍為1<n<2.
(3)解:由BD=CE可得BE=CD,即m=n
∵m=
2
n
,
∴m=n=
2

∵OB=OC=
1
2
BC=1,
∴OE=OD=
2
-1,
∴D(1-
2
,0).
∴BD=OB-OD=1-(
2
-1)=2-
2
=CE,
DE=BC-2BD=2-2(2-
2
)=2
2
-2.
∵BD+CE=2BD=2(2-
2
)=12-8
2
,
∴CE=(2
2
-2)=12-8
2

∴BD+CE=DE.
點評:本題考查了相似形綜合題以及函數(shù)問題,是難度較大的題目,解答時要認(rèn)真審題,相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校積極開展衛(wèi)生健康知識宣傳教育,認(rèn)真組織學(xué)生參加健康教育知識競賽活動.已知競賽成績分為A、B、C、D四個等級,其中相應(yīng)等級的得分依次記為100分,90分,80分,70分.現(xiàn)有甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同,競賽成績整理并繪制成如下統(tǒng)計圖.

(1)此次競賽中乙班成績在C級以上(包括C級)的人數(shù)為
 

(2)請將下面表格補充完整:
平均數(shù)(分) 中位數(shù)(分) 眾數(shù)(分)
甲班
 
90 90
乙班 88
 
100
(3)試運用所學(xué)的統(tǒng)計知識,從兩個不同角度評價甲班和乙班的成績.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)化簡:
x2
x+1
+
2x+1
x+1
;   
(2)解二元一次方程組
3x+5y=8,①
2x-y=1.②

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,AE∥BC.
(1)作∠ADC的平分線DF,與AE交于點F;(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,若AD=2,求DF的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,在直線l同側(cè)有A,E兩點
(1)通過畫圖,在直線l上找到一點P,使得AP+EP的值最;
(2)如圖2,分別過點A,E作AB⊥BD,ED⊥BD,C為線段BD上一動點,連接AC,EC.已知AB=9,DE=1,AE=17,設(shè)CD=x,用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長;
(3)應(yīng)用A:如圖3,若直線l是一條河流,A、E代表河流同側(cè)的兩個工廠,欲在河岸上建一供水站,供A、E兩個工廠的用水,為了節(jié)省費用,使通水管道到兩個工廠的距離之和最短;已知工廠A到河岸的距離為9千米,工廠E到河岸的距離為1千米,A、E兩個工廠之間的距離為17千米,請你求出通水管道的最短長度;
(4)應(yīng)用B:借助上面的思考過程與幾何模型,求代數(shù)式
x2+9
+
(16-x)2+81
的最小值(0<x<16)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

先化簡,后求值:(
1
x-1
-
1
x+1
)÷
x+2
x2-1
,其中x=
2
-2.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在一次募捐活動中,某單位50名職工積極響應(yīng),同時將所捐款情況統(tǒng)計并制成統(tǒng)計圖,根據(jù)圖提供的信息,捐款金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

觀察下列等式:
第1個等式:x1=
1
1×3
=
1
2
(1-
1
3
)
;第2個等式:x2=
1
3×5
=
1
2
(
1
3
-
1
5
)

第3個等式:x3=
1
5×7
=
1
2
(
1
5
-
1
7
)
;第4個等式:x4=
1
7×9
=
1
2
(
1
7
-
1
9
)
;
則xl+x2+x3+…+x10=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

5個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖,則下列說法中正確的是( 。
A、主視圖的面積最小
B、左視圖的面積最小
C、俯視圖的面積最小
D、三個視圖面積一樣大

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同步練習(xí)冊答案