Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點，以O(shè)E為直徑的⊙O′交軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F．

⑴求OA、OC的長；

⑵求證：DF為⊙O′的切線；

⑶小明在解答本題時，發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形．由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形，且點P一定在⊙O′外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：（1）在矩形OABC中，設(shè)OC=x  則OA= x+2，依題意得           解得： （不合題意，舍去）    ∴OC=3，  OA=5 （只要學(xué)生寫出OC＝3，OA＝5即給2分）     （2）連結(jié)O′D    在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90°， ∴ △OCE≌△ABE   ∴EA=EO    ∴∠1=∠2 在⊙O′中，  ∵ O′O= O′D      ∴∠1=∠3 ∴∠3=∠2      ∴O′D∥AE， ∵DF⊥AE     ∴ DF⊥O′D 又∵點D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑， ∴DF為⊙O′切線。 ⑶不同意.理由如下: 當AO=AP時， 以點A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P1和P4兩點 過P1點作P1H⊥OA于點H，P1H = OC = 3，∵A P1= OA =5 ∴A H = 4， ∴OH =1    求得點P1（1，3）    同理可得：P4（9，3） ②當OA=OP時， 同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3） 因此，在直線BC上，除了E點外，既存在⊙O′內(nèi)的點P1，又存在⊙O′外的點P2、P3、P4，它們分別使△AOP為等腰三角形。