Question

已知點(diǎn)A（1，3）、B（5，-2），在x軸上找一點(diǎn)P，使（1）AP+BP最小；（2）|AP-BP|最小；（3）|AP-BP|最大．

Answer 1

解：（1）如圖所示，
連接AB，則直線AB交x軸于點(diǎn)P，設(shè)P（x，0），過AB兩點(diǎn)的直線為y=kx+b（k≠0），
則，解得k=-，b=，
故過A、B兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式為y=-x+，
把點(diǎn)P（x，0）代入一次函數(shù)的解析式得-x+=0，解得x=，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；

（2）因?yàn)閨AP-BP|≥0，所以當(dāng)AP=BP時(shí)|AP-BP|最小，
故點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，作線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，
設(shè)P（x，0），則
PA′=PB，即=，解得x=，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；

（3）作A關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)A₁（也可以作B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B1，道理一樣），這樣AP始終等于A′P的，點(diǎn)A′，P，B構(gòu)成三角形，所以0＜絕對值（AP-BP）＜A′B，其實(shí)右邊可以去等號，也就是當(dāng)P點(diǎn)在直線A′B與X軸的交點(diǎn)時(shí)，取等號這時(shí)絕對值（AP-BP）最大，等于A′B，
設(shè)P（x，0），過A′B兩點(diǎn)的直線為y=kx+b（k≠0），
故，解得k=，b=-，
故過A′B的一次函數(shù)解析式為y=x-，
把P（x，0）代入得，x-=0，解得x=13，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（13，0）．

分析：（1）連接AB，則AB與x軸的交點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出AB所在直線的解析式，再根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）因?yàn)閨AP-BP|≥0，所以當(dāng)AP=BP時(shí)|AP-BP|最小，即點(diǎn)P在線段A′B的垂直平分線上，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；
（3）因?yàn)楫?dāng)P點(diǎn)在直線A′B與X軸的交點(diǎn)時(shí)，取等號這時(shí)絕對值（AP-BP）最大，等于A′B，所以用待定系數(shù)法求出過A′、B兩點(diǎn)的直線解析式，再把所設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．
點(diǎn)評：本題考查的是最短線路問題及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，是一道綜合性題目．