Question

將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C及點(diǎn)B（-3，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，當(dāng)△APE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G，使△AGC的面積與（2）中△APE的最大面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知OA、OC的長(zhǎng)，可得A、C的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，表示出CP的長(zhǎng)，由于PE∥AB，可利用相似三角形△CPE∽△CBA，求出△APE的面積表達(dá)式，進(jìn)而可將面積問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到△APE的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）由于△AGC的面積無法直接求出，可用割補(bǔ)法求解，過G作GH⊥x軸于H，設(shè)出G點(diǎn)坐標(biāo)，表示出△HGC、梯形AOHG的面積，它們的面積和減去△AOC的面積即可得到△AGC的面積表達(dá)式，然后將（2）題所得△APE的面積最大值代入上式中，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），
∴c=6．（1分）
∵拋物線的圖象又經(jīng)過點(diǎn)（-3，0）和（6，0），
∴

0=9a-3b+6 0=36a+6b+6

，（1分）
解之得

a=- 1 3 b=1

，（1分）
故此拋物線的解析式為：y=-

1

3

x²+x+6．（1分）

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），
則PC=6-m，S_△ABC=

1

2

BC•AO=

1

2

×9×6=27；（1分）
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CAB；（1分）
∴

S△CEP

S△CAB

=(

PC

BC

)2，
即

S△CEP

27

=（

6-m

9

）²，
∴S_△CEP=

1

3

（6-m）²，（1分）
∵S_△APC=

1

2

PC•AO=

1

2

（6-m）×6=3（6-m），
∴S_△APE=S_△APC-S_△CEP=3（6-m）-

1

3

（6-m）²=-

1

3

（m-

3

2

）²+

27

4

；
當(dāng)m=

3

2

時(shí)，S_△APE有最大面積為

27

4

；
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，0）．（1分）

（3）如圖，過G作GH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（a，b），（1分）
連接AG、GC，
∵S_梯形AOHG=

1

2

a（b+6），
S_△CHG=

1

2

（6-a）b，
∴S_{四邊形AOCG}=

1

2

a（b+6）+

1

2

（6-a）b=3（a+b）．（1分）
∵S_△AGC=S_{四邊形AOCG}-S_△AOC，
∴

27

4

=3（a+b）-18，（1分）
∵點(diǎn)G（a，b）在拋物線y=-

1

3

x²+x+6的圖象上，
∴b=-

1

3

a²+a+6，
∴

27

4

=3（a-

1

3

a²+a+6）-18，
化簡(jiǎn)，得4a²-24a+27=0，
解之得a₁=

3

2

，a₂=

9

2

；
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為（

3

2

，

27

4

）或（

9

2

，

15

4

）．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題涉及到二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等知識(shí)，注意面積問題與二次函數(shù)最值問題之間的聯(lián)系．