Question

設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)：x₁，x₂，…，x_n，其方差是S²．求證：函數(shù)y=（x-x₁）²+（x-x₂）²+…+（x-x_n）²的最小值是nS²．

Answer 1

證明：∵y=nx²-2（x₁+x₂+…+x_n）x+x₁²+x₂²+…+x_n²
∴當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，
∴=nS²
分析：根據(jù)方差的意義知，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，即可證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查方差的定義與意義：一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x₁，x₂，…x_n的平均數(shù)為，則方差S²=[（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n-）²]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立．