Question

19．如圖，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求證：MA=MB．
（2）探究在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中OA+OB與PO的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）連接AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)M作ME⊥OP于點(diǎn)E，作MF⊥OQ于點(diǎn)F，可得四邊形OEBF是矩形，根據(jù)三角形的中位線定理可得ME=MF，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AME=∠BMF，再利用“角邊角”證明△AME和△BMF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明；
（2）連接OM，證明△AMO≌△BMQ，得到OA=QB，所以O(shè)P=OQ=OB+BQ=OB+OA．
（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BF，設(shè)OA=x，表示出AE為2-x，即BF的長(zhǎng)度，然后表示出OB=2+（2-x），再利用勾股定理列式求出AM，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的$\sqrt{2}$倍表示出AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式判斷出△AOB的周長(zhǎng)隨AB的變化而變化，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出周長(zhǎng)最小時(shí)的x的值，然后解答即可．

解答 解：（1）如圖1，過點(diǎn)M作ME⊥OP于點(diǎn)E，作MF⊥OQ于點(diǎn)F，

∵∠O=90°，
∴四邊形OEMF是矩形，
∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，OP=OQ=4，∠O=90°，
∴ME=$\frac{1}{2}$OQ=2，MF=$\frac{1}{2}$OP=2，
∴ME=MF，
∴四邊形OEMF是正方形，
∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，
∴∠AME=∠BMF，
在△AME和△BMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠BMF}\\{ME=MF}\\{∠AEM=∠BFM}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△BMF（ASA），
∴MA=MB
（2）OA+OB=OP
如圖2，連接MO，

在Rt△POQ中，
∵OP=OQ，M是PQ中點(diǎn)，
∴OM⊥PQ，
∴∠OMP=90°
即∠OMA+AMP=90°，
∵∠AMB=90°，
∴∠BMQ+∠AMP=90°，
∴∠OMA=∠BMQ
在Rt△POQ中，由勾股定理得PQ=$4\sqrt{2}$
PM=QP=$\frac{1}{2}$PQ=$2\sqrt{2}$
在△POM中，∵∠OMP=90°，∠P=45°，
∴∠POM=45°，
∴OM=PM=QM=$2\sqrt{2}$，
在△AMO與△BMQ中，
$\left\{\begin{array}{l}AM=BM\\∠OMA=∠BMQ\\ OM=QM\end{array}\right.$
∴△AMO≌△BMQ，
∴OA=QB，
∴OP=OQ=OB+BQ=OB+OA．
（3）有最小值，最小值為4+2$\sqrt{2}$．
理由如下：根據(jù)（1）△AME≌△BMF，
∴AE=BF，
設(shè)OA=x，則AE=2-x，
∴OB=OF+BF=2+（2-x）=4-x，
在Rt△AME中，AM=$\sqrt{A{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{（2-x）^{2}+{2}^{2}}$，
∵∠AMB=90°，MA=MB，
∴AB=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（2-x）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$，
△AOB的周長(zhǎng)=OA+OB+AB=x+（4-x）+$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$=4+$\sqrt{2（2-x）^{2}+8}$，
所以，當(dāng)x=2，即點(diǎn)A為OP的中點(diǎn)時(shí)，△AOB的周長(zhǎng)有最小值，最小值為4+$\sqrt{8}$，即4+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的最值問題，作出輔助線，把動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為固定的三角形，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．