Question

20．已知：如圖，拋物線l₁：y=$\frac{1}{3}$（x-m）²+n（m＞0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，將拋物線l₁繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線l₂，拋物線l₂的頂點(diǎn)為C，與y軸交于點(diǎn)D，其中點(diǎn)A、B、C、D中的任意三點(diǎn)都不在同一直線上
（1）若點(diǎn)A（3，1），則拋物線l₁的解析式為y=$\frac{1}{3}$（x-3）²+1，拋物線l₂的解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x+3）²-1；
（2）在（1）的條件下，拋物線l₁的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使PC+PD的值最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若拋物線l₁：y=$\frac{1}{3}$（x-m）²+n（m＞0）的頂點(diǎn)A落在x軸上時(shí)，四邊形ABCD恰好是正方形，求m、n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式方程和二次函數(shù)圖象的幾何變換規(guī)律進(jìn)行解答；
（2）存在，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題確定點(diǎn)P的位置：作D關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′交直線x=3于點(diǎn)P，即為所求．然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線CD′的解析式，再求解即可；
（3）根據(jù)題意確定點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（m，0），則n=0；然后利用正方形的對(duì)角線互相平分得到OA=OB，則由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到關(guān)于m的方程：m=$\frac{1}{3}$m²，通過(guò)解該方程得到m的值，注意m的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線l₁：y=$\frac{1}{3}$（x-m）²+n（m＞0）的頂點(diǎn)為A的坐標(biāo)是（3，1），
∴拋物線l₁的解析式為y=$\frac{1}{3}$（x-3）²+1，
又∵將拋物線l₁繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線l₂，
∴拋物線l₂的開口方向向下，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-3，-1），
∴拋物線l₂的解析式為y=-$\frac{1}{3}$（x+3）²-1，
故答案是：y=$\frac{1}{3}$（x-3）²+1；y=-$\frac{1}{3}$（x+3）²-1；

（2）存在．理由如下：
如圖1，作D關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′交直線x=3于點(diǎn)P，即為所求，
設(shè)直線CD′的解析式為y=kx+b（k≠0），
將C（-3，-1）和D′（6，-4）代入直線y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=-1}\\{6k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴該直線方程為：y=-$\frac{1}{3}$x-2．
當(dāng)x=3時(shí)，y=-3
∴P（3，-3）；

（3）∵拋物線y=$\frac{1}{3}$（x-m）²+n的頂點(diǎn)A落在x軸上，
∴A（m，0），則n=0，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，即m=$\frac{1}{3}$m²，
解得：m₁=0（不合題意，舍去），m₂=3，
∴當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，m=3，n=0．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，難點(diǎn)在于（2）確定出點(diǎn)P的位置．