Question

4．△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在線段BC上（端點(diǎn)B除外），∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，BE⊥DE于點(diǎn)E，DE與AB相交于點(diǎn)F，過(guò)F作FM∥AC交BD于M．

（1）當(dāng)AB=AC時(shí)（如圖1），求證：①FM=MD；②FD=2BE；
（2）當(dāng)AB=kAC時(shí)（k＞0，如圖2），用含k的式子表示線段FD與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）①利用等腰直角三角形得出結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠DMF=∠MFD，進(jìn)而得出答案；
②根據(jù)題意證明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性質(zhì)，得到BE與FD的數(shù)量關(guān)系；
（2）首先證明△GBN∽△FDN，利用三角形相似的性質(zhì)得到BE與FD的數(shù)量關(guān)系．

解答 （1）證明：①如圖1，∵AB=AC，∠A=90°
∴∠ABC=∠C=45°
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C
∴∠EDB=22.5°
∵FM∥AC，
∴∠FMB=45°，
∴∠MFD=22.5°，
∴∠DMF=∠MFD，
∴MF=MD；

②在△BEF和△DEB中
∵∠E=∠E=90°
∠EBF=∠EDB=22.5°
∴△BEF∽△DEB
如圖1：作BG平分∠ABC，交DE于G點(diǎn)，
∴BG=GD，△BEG是等腰直角三角形
設(shè)EF=x，BE=y，
則：BG=GD=$\sqrt{2}$y，
FD=$\sqrt{2}$y+y-x，
∵△BEF∽△DEB
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{y}{y+\sqrt{2}y}$，
得：x=（$\sqrt{2}$-1）y，
∴FD=2BE；

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，與BA交于點(diǎn)N，
∵DG∥AC，
∴∠GDB=∠C，
∵∠EDB=$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠EDB=∠GDE，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=∠DEG，
在△DEG和△DEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDG=∠EDB}\\{DE=DE}\\{∠GED=∠BED}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△DEB（ASA），
∴BE=$\frac{1}{2}$GB，∠BND=∠GNB=90°，∠EBF=∠NDF，
∴△GBN∽△FDN，
∴$\frac{GB}{FD}$=$\frac{NB}{ND}$，即$\frac{BE}{FD}$=$\frac{BN}{2DN}$，
又∵DG∥AC，
∴△BND∽△BAC，
∴$\frac{BN}{AB}$=$\frac{DN}{AC}$，
即$\frac{BN}{DN}$=$\frac{AB}{AC}$=k，
∴$\frac{BE}{FD}$=$\frac{k}{2}$，
∴FD=$\frac{2}{k}$BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行判定和計(jì)算．（2）結(jié)合圖形利用三角函數(shù)和相似三角形進(jìn)行計(jì)算求出線段間的關(guān)系．