Question

如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，PO的延長(zhǎng)線交BC于Q．
（1）求證：四邊形PBQD是平行四邊形；
（2）若AD=8cm，AB=6cm，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合），設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①請(qǐng)用t表示PD的長(zhǎng)；②求t為何值時(shí)，四邊形PBQD是菱形．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,平行四邊形的判定,矩形的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)推出AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PDO=∠QBO，根據(jù)全等三角形的判定ASA證△PDO≌△BQO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出OP=OQ，則“對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形”；
（2）①由線段間的和差關(guān)系來(lái)求PD的長(zhǎng)度；
②根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形PBQD是平行四邊形，求出DP=BP即可．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O為BD中點(diǎn)，
∴OB=OD，
在△PDO和△QBO中，

∠PDO=∠QBO OB=OD ∠POD=∠BOQ

，
∴△PDO≌△BQO（ASA），
∴OP=OQ．
又∵OB=OD，
∴四邊形PBQD是平行四邊形；

（2）①∵AP+PD=AD，AP=t，AD=8cm，
∴PD=8-AP=8-t（cm）．
②當(dāng)t=

7

4

s時(shí)，四邊形PBQD是菱形，
理由是：
∵四邊形PBQD是菱形，
∴BP=DP=8-t（cm）．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
AB²+AP²=BP²，
即6²+t²=（8-t）²
解得t=

7

4

．
∴當(dāng)t=

7

4

s時(shí)，四邊形PBQD是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．