Question

13．如圖①，在△ABC外作△BAD、△CAE，使∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．
（1）如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上作平行四邊形ADFE，取BD中點P，連接PF、PC，試猜想PF與PC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖③，在圖①的基礎(chǔ)上把△CAE沿邊AC翻折，作平行四邊形ABFE1，取BD中點P，連接PF、PC，在圖③中按要求補(bǔ)全圖形，并判斷此時PF與PC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：PF=PC、PF⊥PC，在圖②欲證明PF=PC，PF⊥PC只要證明△PDF≌△PAC即可．
（2）結(jié)論不變，證明方法類似（1）．

解答 （1）結(jié)論：PF=PC，PF⊥PC，理由如下：
證明：圖②中，連接PA．
∵AB=AD，∠BAD=90°，PD=PB，
∴PA=PD=PB，∠ADB=∠ABD=∠PAD=45°，PA⊥BD，
∴∠DPA=90°
∵四邊形AEFD是平行四邊形，
∴DF=AE=AC，DF∥AE，
∴∠DAE+∠ADF=180°
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAC=∠ADF，
∵∠PDF=∠ADB+∠ADF=45°+∠ADF，
∠PAC=∠PAB+∠BAC=45°+∠BAC，
∴∠PDF=∠PAC，
在△PDF和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PA}\\{∠PDF=∠PAC}\\{DF=AC}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△PAC，
∴PF=PC，∠DPF=∠APC，
∴∠DPA=∠FPC=90°，
∴PF⊥PC．
（2）結(jié)論：PF=PC，PF⊥PC，理由如下：
證明：圖③中，連接PA，
∵四邊形ABFE′是平行四邊形，
∴BF=AE′=AE=AC，∠ABF=∠FE′A，F(xiàn)E′∥AB，
∴∠FE′A=∠EAB
∵AB=AD，∠BAD=90°，PD=BD，
∴PB=PA=PD，∠D=∠DBA=∠PAD=∠PAB=45°，PA⊥BD，
∴∠APB=90°，
∵∠PBF=∠ABF-45°=∠BAE-45°=∠BAC+∠CAE-45°=∠BAC+45°，∠PAC=∠BAC+∠PAB=∠BAC+45°，
∴∠PBF=∠PAC，
在△PBF和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}\\{∠PBF=∠PAC}\\{BF=AC}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PAC，
∴PF=PC，∠FPB=∠CPA，
∴∠FPC=∠BPA=90°
∴PF⊥PC．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，題目的難點是圖②中∠PDF=∠PAC的證明以及圖③中∠PBF=∠PAC的證明．