Question

1．如圖，△ABC是等邊三角形，P是∠ABC的平分線BD上一點，PE⊥AB于點E，線段BP的垂直平分線交BC于點F，垂足為點Q．如果BF=a，那么PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形和角平分線的性質(zhì)即可得出∠PBE=∠FBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，通過解直角三角形可求出BP的長度，再通過解直角三角形即可得出線段PE的長度．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，
∴∠PBE=∠FBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
∵FQ⊥BP，
∴BQ=BF•cos∠FBQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵Q點是線段BP的中點，BQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴BP=$\sqrt{3}$a．
在Rt△BEP中，∠PBE=30°，BP=$\sqrt{3}$a，PE⊥AB，
∴PE=BP•sin∠PBE=$\sqrt{3}$a×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過解直角三角形求出線段PE的長度．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出角的度數(shù)，再通過解直角三角形以及特殊角的三角形函數(shù)值找出線段的長是關(guān)鍵．