Question

如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標系中，使OA，OC分別落在x軸y軸的正半軸上．連接AC，且AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，
（1）求A、C兩點的坐標；
（2）求AC所在直線的函數(shù)解析式；
（3）將紙片OABC折疊，使點A與點C重合（折痕為EF），求折疊后紙片重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）因為AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，∠COA=90°，所以可求出OA=2OC，利用勾股定理可得AC²=OC²+OA²，由此即可求出OC=4，OA=8，進而求出A（8，0），C（0，4）；
（2）可設AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求出AC的解析式為y=-

1

2

x+4；
（3）可設AC與EF交于點O，由折疊知EF垂直平分AC，所以O是矩形ABOC的中心，所以FO=OE，利用EF、AC互相垂直平分，可得重合部分AECF是菱形，進而可設CF=x，則AF=x，BF=8-x，因為AB=4，∠B=90°，利用勾股定理，可求出x=5，即CF=5，所以重合部分的面積=

1

2

×5×4=10．

解答：解：（1）∵AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，∠COA=90°，
∴

OC

OA

=

1

2

，即OA=2OC，
∵AC²=OC²+OA²，
∴80=OC²+4OC²，
∴OC=4，OA=8，
∴A（8，0），C（0，4）；

（2）設AC的解析式為y=kx+b，
則

4=b 0=8k+b

，
∴

k=- 1 2 b=4

，
所以AC的解析式為y=-

1

2

x+4；

（3）設：AC與EF交于點O，由折疊知EF垂直平分AC，所以O是矩形ABOC的中心，

∴FO=OE，
∴EF、AC互相垂直平分，
∴重合部分AECF是菱形，
設CF=x，則AF=x，BF=8-x，
因為AB=4，∠B=90°，
∴x²=4²+（8-x）²，
∴x=5，即CF=5，
∴重合部分的面積=

1

2

×5×4=10．

點評：本題需仔細分析題意，利用勾股定理、待定系數(shù)法即可解決問題．