Question

（2010•河源）如圖，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC為直徑的圓交x軸于E，D兩點(diǎn)（D點(diǎn)在E點(diǎn)右方）．
（1）求點(diǎn)E，D的坐標(biāo)；
（2）求過(guò)B，C，D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過(guò)B，C，D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)以BC為直徑的圓的圓心為M，由于⊙M過(guò)點(diǎn)D，由圓周角定理可得∠BDC=90°；即可證得△ABD∽△ODC，可用OD表示出DA，根據(jù)相似三角形得到的比例線(xiàn)段，即可求得OD的長(zhǎng)，由此可得到點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；
（2）用待定系數(shù)法求解即可求出該拋物線(xiàn)的解析式；
（3）首先求出直線(xiàn)CD的解析式；由于CD⊥BD，且點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的圖象上，因此C點(diǎn)就是符合條件的Q點(diǎn)；同理可先求出過(guò)B點(diǎn)且平行于CD的直線(xiàn)l的解析式，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)（B點(diǎn)除外）也應(yīng)該符合Q點(diǎn)的要求．
解答：解：（1）取BC的中點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥x軸于N；則M點(diǎn)即為以BC為直徑的圓的圓心；
∵點(diǎn)D是⊙M上的點(diǎn)，且BC是直徑，
∴∠BDC=90°；
∴∠OCD=∠BDA=90°-∠ODC；
又∵∠COD=∠OAB，
∴△OCD∽△ADB；
∴；
∵OC=3，AB=1，OA=OD+DA=4，
∴3×1=OD×（4-OD），
解得AD=1，OD=3；
∵點(diǎn)D在點(diǎn)E右邊，
∴OD=3，OE=1；
即D（3，0），E（1，0）；

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，（a≠0），依題意，
有：，
解得；
∴y=x²-x+3；

（3）假設(shè)存在這樣的Q點(diǎn)；
①△BDQ以D為直角頂點(diǎn)；
由于CD⊥BD，且C點(diǎn)在拋物線(xiàn)的圖象上，
所以C點(diǎn)符合Q點(diǎn)的要求；
此時(shí)Q（0，3）；
②△BDQ以B為直角頂點(diǎn)；
易知直線(xiàn)CD的解析式為：y=-x+3；
作過(guò)B的直線(xiàn)l，且l∥CD；
設(shè)l的解析式為y=-x+h，由于l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，1），
則有：-4+h=1，h=5；
∴直線(xiàn)l的解析式為y=-x+5；
聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式有：
，
解得，；
∴Q（-1，6）；
綜上所述，存在符合條件的Q點(diǎn)，且Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（-1，6）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、直角三角形的判定等知識(shí)的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度較大．