Question

9．已知，Rt△OAB在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，BA⊥OA，點(diǎn)B（4，4），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D，且與直線AB交于點(diǎn)C．
（1）求直線OB的解析式；
（2）求反比例函數(shù)的解析式；
（3）聯(lián)結(jié)OC，直接寫出△OCB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象和點(diǎn)B（4，4），可以求得直線OB的解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)B（4，4），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D，可以求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可以求得反比例函數(shù)的解析式；
（3）根據(jù)已知條件可以求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，從而可以求得△OCB的面積．

解答 解：（1）設(shè)直線OB的函數(shù)解析式為y=kx，
4=4k，解得k=1，
即直線OB的解析式是y=x；
（2）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過線段OB的中點(diǎn)D，點(diǎn)B（4，4），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，2），
∴$2=\frac{k}{2}$，
解得，k=4，
即反比例函數(shù)的解析式是$y=\frac{4}{x}$；
（3）連接OC，如右圖所示，

當(dāng)x=4時(shí)，$y=\frac{4}{4}$=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，1），
∵點(diǎn)A（4，0），AC=1，AB=4，
∴S_△OCB=S_△OAB-S_△OAC=$\frac{4×4}{2}-\frac{4×1}{2}=6$，
即△OCB的面積是6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想找出所求問題需要的條件．