Question

5．如圖1，點(diǎn)P是∠MON平分線上的點(diǎn)，射線PA交射線OM于點(diǎn)A，將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點(diǎn)B，且使∠APB+∠MON=180°．
（1）求證：PA=PB；
（2）如圖2，若∠MON=60°，OB=2，射線AP交ON于點(diǎn)D，且滿足∠PBD=∠ABO，求OP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足為M、N，由四邊形內(nèi)角和定理可知∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，則∠EPF=∠APB，可證∠EPA=∠FPB，由角平分線的性質(zhì)，得PE=PF，可證△EPA≌△FPB，得出結(jié)論；
（2）作BH⊥OT，垂足為T，當(dāng)∠MON=60°時(shí)，∠APB=120°，由PA=PB得∠PBA=∠PAB=30°，又∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，可求∠ABO度數(shù)為75°，從而∠OBP=105°，在△OBP中，∠BOP=30°，則∠BPO=45°，分別解Rt△OBH，Rt△PBH即可求OP．

解答 解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足為E、F
∵四邊形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，
∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，
∴∠EPA=∠FPB，
由角平分線的性質(zhì)，得PE=PF，
在△EPA與△FPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEP=∠OFP}\\{PE=PF}\\{∠EPA=∠FPB}\end{array}\right.$，
∴△EPA≌△FPB，
∴PA=PB；

（2）作BH⊥OP，垂足為H，
當(dāng)∠MON=60°時(shí)，∠APB=120°，
由PA=PB，得∠PBA=∠PAB=$\frac{1}{2}$（180°-∠APB）=30°，
又∵∠PBD=∠ABO，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，則∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，
在△OBP中，∵∠BOP=30°，
∴∠BPO=45°，
在Rt△OBH中，BH=$\frac{1}{2}$OB=1，OH=$\sqrt{3}$，
在Rt△PBH中，PH=BH=1，
∴OP=OH+PH=$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．