Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），且過(guò)點(diǎn)（-1，

5

4

），直線y=kx+2與y軸相交于點(diǎn)P，與二次函數(shù)圖象交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式．
（2）對(duì)（1）中的二次函數(shù)，當(dāng)自變量x取值范圍在-1＜x＜3時(shí)，請(qǐng)寫出其函數(shù)值y的取值范圍；（不必說(shuō)明理由）
（3）求證：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，必存在定點(diǎn)G，使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上，并求△GAB面積的最小值．
（注：在解題過(guò)程中，你也可以閱讀后面的材料）
附：閱讀材料
   任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比．
   即：設(shè)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁，x₂，
   則：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

   能靈活運(yùn)用這種關(guān)系，有時(shí)可以使解題更為簡(jiǎn)單．
   例：不解方程，求方程x²-3x=15兩根的和與積．
   解：原方程變?yōu)椋簒²-3x-15=0
∵一元二次方程的根與系數(shù)有關(guān)系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

∴原方程兩根之和=-

-3

1

=3，兩根之積=

-15

1

=-15．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,完全平方公式,根與系數(shù)的關(guān)系,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的圖象,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：代數(shù)幾何綜合題,閱讀型

分析：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+1，由于點(diǎn)（-1，

5

4

）在二次函數(shù)圖象上，把該點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+1，即可求出a，從而求出二次函數(shù)的解析式．
（2）先分別求出x=-1，x=0，x=3時(shí)y的值，然后結(jié)合圖象就可得到y(tǒng)的取值范圍．
（3）過(guò)點(diǎn)A作y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)G，連接AG，如圖2，則點(diǎn)A′必在拋物線上，且∠AGP=∠BGP，由此可得△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．由于點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直線y=kx+2上，從而可以得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，kx₁+2）、A′的坐標(biāo)為（-x₁，kx₁+2）、B的坐標(biāo)為（x₂，kx₂+2）．設(shè)直線BG的解析式為y=mx+n，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，n）．由于點(diǎn)A′（-x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直線BG上，可用含有k、x₁、x₂的代數(shù)式表示n．由于A、B是直線y=kx+2與拋物線y=

1

4

x²+1的交點(diǎn)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．從而求出n=0，即可證出：在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，存在定點(diǎn)G（0，0），使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．由S_△ABG=S_△APG+S_△BPG，可以得到S_△ABG=x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x1x2

=4

k2+1

，所以當(dāng)k=0時(shí)，S_△ABG最小，最小值為4．

解答：（1）解：由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
因此二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=ax²+1．
∵拋物線y=ax²+1過(guò)點(diǎn)（-1，

5

4

），
∴

5

4

=a+1．
解得：a=

1

4

．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=

1

4

x²+1．

（2）解：當(dāng)x=-1時(shí)，y=

5

4

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
當(dāng)x=3時(shí)，y=

1

4

×3²+1=

13

4

，
結(jié)合圖1可得：當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，y的取值范圍是1≤y＜

13

4

．

（3）①證明：過(guò)點(diǎn)A作y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)G，連接AG，如圖2，
則點(diǎn)A′必在拋物線上，且∠AGP=∠BGP，
∴△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，y₁），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-x₁，y₁）．
∵點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直線y=kx+2上，
∴y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2．
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-x₁，kx₁+2）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₂，kx₂+2）．
設(shè)直線BG的解析式為y=mx+n，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，n）．
∵點(diǎn)A′（-x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直線BG上，
∴

-x1m+n=kx1+2 x2m+n=kx2+2

．
解得：

m= k(x2-x1) x2+x1 n= 2kx1x2 x2+x1 +2

．
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是直線y=kx+2與拋物線y=

1

4

x²+1的交點(diǎn)，
∴x₁、x₂是方程kx+2=

1

4

x²+1即x²-4kx-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得；x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
∴n=

2k×(-4)

4k

+2=-2+2=0．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，0）．
∴在此二次函數(shù)圖象下方的y軸上，存在定點(diǎn)G（0，0），使△ABG的內(nèi)切圓的圓心落在y軸上．
②解：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OP，垂足為C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OP，垂足為D，如圖2，
∵直線y=kx+2與y軸相交于點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．
∴PG=2．
∴S_△ABG=S_△APG+S_△BPG
=

1

2

PG•AC+

1

2

PG•BD
=

1

2

PG•（AC+BD）
=

1

2

×2×（-x₁+x₂）
=x₂-x₁
=

(x2+x1)2-4x1x2

=

(4k)2-4×(-4)

=

16(k2+1)

=4

k2+1

．
∴當(dāng)k=0時(shí)，S_△ABG最小，最小值為4．
∴△GAB面積的最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象、三角形的內(nèi)切圓、根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．