Question

8．如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD．
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長．

Answer 1

分析 （1）分△ABP∽△PDC和△ABP∽△CDP兩種情況，根據相似三角形的性質列出比例式，運用一元二次方程根的判別式解答即可；
（2）分△ABP∽△PDC和△ABP∽△CDP兩種情況，根據相似三角形的性質列出比例式，解方程即可；
（3）分△ABP∽△PDC和△ABP∽△CDP兩種情況，根據相似三角形的性質列出比例式，解方程即可．

解答 解：（1）設BP=x，
當△ABP∽△PDC時，$\frac{AB}{PD}$=$\frac{BP}{CD}$，即$\frac{9}{10-x}$=$\frac{x}{4}$，
整理得，x²-10x+36=0，
△=10²-4×36＜0，方程無解，BP不存在；
當△ABP∽△CDP時，$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{CP}$，即$\frac{9}{4}$=$\frac{x}{10-x}$，
解得，x=$\frac{90}{13}$，
∴當BP=$\frac{90}{13}$時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；
（2）設BP=y，
當△ABP∽△PDC時，$\frac{AB}{PD}$=$\frac{BP}{CD}$，即$\frac{9}{12-y}$=$\frac{y}{4}$，
整理得，y²-12y+36=0，
解得，y₁=y₂=6，
當BP=6時，△ABP∽△PDC；
當△ABP∽△CDP時，$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{CP}$，即$\frac{9}{4}$=$\frac{y}{12-y}$，
解得，y=$\frac{108}{13}$，
綜上所述，當BP=6或$\frac{108}{13}$時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似；
（3）設BP=z，
當△ABP∽△PDC時，$\frac{AB}{PD}$=$\frac{BP}{CD}$，即$\frac{9}{15-z}$=$\frac{z}{4}$，
整理得z²-15z+36=0，
解得z₁=3，z₂=12；
當△ABP∽△CDP時，$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BP}{CP}$，即$\frac{9}{4}$=$\frac{z}{15-z}$，
解得z=$\frac{135}{13}$，
綜上所述，當BP=3或12或$\frac{135}{13}$時，以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似．

點評 本題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的對應邊的比相等是解題的關鍵，注意分情況討論思想和方程思想的應用．