Question

已知，在平行四邊形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)沿射線OA方向以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向以每秒1個(gè)單位的速度移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求直線AC的解析式；  
（2）試求出當(dāng)t為何值時(shí)，△OAC與△PAQ相似．

Answer 1

分析：（1）要求直線AC的解析式，需要求出點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)，可以利用等積法求得C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用勾股定理求得橫坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求得直線的解析式；
（2）對(duì)于相似要分情況進(jìn)行討論，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例可求得t的數(shù)值．

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥OA，垂足為E，
在Rt△OCA中，AC=

52-42

=3，
∴5×CE=3×4，
∴CE=

12

5

，
在Rt△OCE中，OE=

42-( 12 5 )2

=

16

5

，
∴C（

16

5

，

12

5

），A（5，0），
∴y=-

4

3

x+

20

3

；

（2）當(dāng)0≤t≤2.5時(shí)，P在OA上，若∠OAQ=90°時(shí)，
故此時(shí)△OAC與△PAQ不可能相似．
當(dāng)t＞2.5時(shí)，
①若∠APQ=90°，則△APQ∽△OCA，
故

AQ

AP

=

OA

OC

=

5

4

，
∴

t

2t-5

=

5

4

，
∴t=

25

6

，
∵t＞2.5，
∴t=

25

6

符合條件．
②若∠AQP=90°，則△APQ∽△OAC，
故

AQ

AP

=

OC

OA

=

4

5

，
∴

t

2t-5

=

4

5

，
∴t=

20

3

，
∵t＞2.5，
∴t=

20

3

符合條件．
綜上可知，當(dāng)t=

25

6

或

20

3

時(shí)，△OAC與△APQ相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及直討論線與圓的位置關(guān)系；在解決圓的問題時(shí)要注意勾股定理的應(yīng)用，要注意對(duì)問題進(jìn)行分類討論．